线性代数

矩阵

1. 3*2 矩阵,\(A_{ij} \) 第i行，第j列元素 $A= \begin{bmatrix} 1 \quad x^2 \\ 2 \quad y^2 \\ 3 \quad z^2 \end{bmatrix} \tag{1}$

2. 向量是特殊的矩阵，3维列向量 $y= \left[ \begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 7 \end{matrix} \right] \tag{2}$

加法和标量乘法

1. 矩阵的加法：行列数相等的可以加
   $\begin{bmatrix} 1 \quad 0 \\ 2 \quad 5 \\ 3 \quad 1 \end{bmatrix}$ + $\begin{bmatrix} 4 \quad 0.5 \\ 2 \quad 5 \\ 0 \quad 1 \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 5 \quad 0.5 \\ 4 \quad 10 \\ 3 \quad 2 \end{bmatrix}$

2. 矩阵的乘法：每个元素都要乘
   3 * $\begin{bmatrix} 1 \quad 0 \\ 2 \quad 5 \\ 3 \quad 1 \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 3 \quad 0 \\ 6 \quad 15 \\ 9 \quad 3 \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 1 \quad 0 \\ 2 \quad 5 \\ 3 \quad 1 \end{bmatrix}$ * 3

3. 矩阵向量乘法: mn 矩阵 n1 矩阵= m1 矩阵
   $\begin{bmatrix} 1 \quad 3 \\ 4 \quad 0 \\ 2 \quad 1 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 1 \\ 5 \end{bmatrix}$= $\begin{bmatrix} 16 \\ 4 \\ 7 \end{bmatrix}$

   1 * 1+3 * 5=16
   4 * 1+0 * 5=4
   2 * 1=1 * 5=7

4. m * n 矩阵乘以 n * o 矩阵，变成 m * o 矩阵
   $\begin{bmatrix} Co \quad C1 \\ C2 \quad C3 \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} Ao \quad A1 \\ A2 \quad A3 \end{bmatrix}$ * $\begin{bmatrix} Bo \quad B1 \\ B2 \quad B3 \end{bmatrix}$

   C0=A0 * B0 + A1 * B2
   C1=A0 * B1 + A1 * B3
   C0=A2 * B0 + A3 * B2
   C0=A2 * B1 + A3 * B3

5. 矩阵乘法性质
   矩阵的乘法不满足交换律：A×B≠B×A
   矩阵的乘法满足结合律。即：A×（B×C）=（A×B）×C
   单位矩阵：在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的 1,我们称 这种矩阵为单位矩阵．它是个方阵，一般用 I 或者 E表示,从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为 1 以外全都为 0
   $\begin{bmatrix} 1 \quad 0 \\ 0 \quad 1 \end{bmatrix}$ AI=IA=A

6. 逆、转置
   矩阵的逆：如矩阵 A 是一个 m×m 矩阵（方阵），如果有逆矩阵，则：\(AA^{-1}=A^{-1}A=I\)
   矩阵的转置：设 A 为 m×n 阶矩阵（即 m 行 n 列）, A 的转置为n×m 阶矩阵 B，即 b (i,j)=a (j,i)，记 \(A^{T}=B\)(或\(A^{‘}=B\)）
   $\begin{bmatrix} a \quad b \\ c \quad d \\ e \quad f \end{bmatrix} ^{T}$ = $\begin{bmatrix} a \quad c \quad e \\ b \quad d \quad f \end{bmatrix}$
   矩阵的转置基本性质:
   \((A±B)^{T}=A^{T}±B^{T} \)
   \((A×B)^{T}= B^{T}×A^{T}\)
   \((A^{T})^{T}=A\)
   \((KA)^{T}=KA^{T}\)
   matlab 中矩阵转置：\(x=y^{‘}\)

线性方程

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